Lista de exercícios - Sequencias e progressões - 1° Ano prof Gleidston

SEQUÊNCIAS E PROGRESSÕES

A utilização de sequências está ligada com a necessidade de ordenar, classificar e organizar informações e dados. Ao estudar as sequências é observada a existência de sequências não numérica e de sequências numéricas, onde de acordo com suas características é possível sua divisão em Progressões Aritméticas (PA) e Progressões Geométricas (PG).

Como exemplo, podemos observar aplicação do uso de sequências na Estatística e em profissões que fazem coleta e tratamento de informações, onde tais informações podem ser apresentadas por meio de tabelas e gráficos. Ter acesso a informações coletadas com ordem, classificadas e organizadas dão suporte a políticas publicas, fundamenta diversas ações governamentais, entre outros.

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DEFINIÇÕES, CONCEITOS E APLICAÇÃO

Com base no texto acima, utilizando as tabelas e o gráfico abaixo responda a questão 1.

  Com base nos seus estudos sobre sequências julgue V ou F e ao final marque a alternativa correta.

(    ) I – Progressão Aritmética é toda sequência de números na qual cada termo, a partir do segundo, é a soma ou subtração do termo anterior com uma constante, chamada razão (r) da PA.
(    ) II – Os tipos de PA existente são crescente, decrescente e constante ou estacionária, além disto também podem ser finitas e infinitas.
(    ) III – Progressão Geométrica é toda sequência de números na qual cada termo, a partir do segundo, é a multiplicação do termo anterior com uma constante, chamada quociente (q) da PG.
(    ) IV –As PG`s também podem ser finitas e infinitas e os tipos de PG existente são crescente, decrescente e alternante, considerando que nas PG`s não existe o tipo constante ou estacionária que é exclusivo das PA`s.
(    ) V – Ao analisar as tabelas 1 e 2 podemos observar que as especificações (coluna 1) trazem uma forma de sequências não numéricas, com objetivo de organizar as informações, que também podemos observar no gráfico de coluna por meio da legenda (Saldo da balança, importação e exportação)
(    ) VI – É possível observar diversas progressões aritméticas nas tabelas e no gráfico acima. Como exemplo: o ano (2006, 2007, 2008) PA com r = 1; O total das importações (100 000, 150 000, 200 000) e das exportações (150 000, 200 000, 250 000), ambas PA`s com r = 50 000.
(    ) VII – Tanto o ano quanto os totais citados na questão acima são exemplos de PA`s decrescentes.
(    ) VIII – Analisando o gráfico percebemos uma informação: saldo da balança, que é a diferença das exportações pela importações. De acordo com o gráfico, a PA do saldo da Balança é uma PA do tipo estacionária com r = 0 e também pode ser considerada uma PG com q = 1.
(    ) IX – Na tabela 1 podemos observar: duas PG`s crescente com q = 2 (Bens de capital e Bens duráveis), duas PA`s crescentes com r = 2000 e r = 10 000 (Bens não-duráveis e Matérias-primas) e uma PA decrescente com r = – 5 000 (Combustíveis e lubrificantes)
(    ) X – Na tabela 2 não existe nenhuma PG apenas é possível observar PA`s crescentes. Como exemplo, temos PA`s com r = 1, r = 24 000, r = 10 000, r = 24 000, r = 10 000, r = 2 000 e r = 50 000. E existe uma sequência que não é nem PA e nem PG (Produtos semimanufaturados)

a) Todas as alternativas são verdadeiras
b) Somente UMA alternativa é falsa, a IV.
c) Existem DUAS alternativas falsas, a IV e a VII.
d) Existem QUATRO alternativas falsas, a IV, V, VI e a VII.

Analise as informações abaixo e responda as questões 2 e 3

2 – Nos gráficos acima existem exemplos de sequências não-numéricas e sequências numéricas. Informe:

a) duas formas de sequências não-numéricas.

b) quatro formas de sequências numéricas.

c) Localize uma PA decrescente e informe o valor de r.

d) localize duas PA`s crescentes e informe o valor de r.

3 –Julgue os itens que se seguem.

(      )É possível observar uma progressão aritmética no gráfico de barra (Gráfico: Alunos que seguem estudando). Nota-se que a PA (de cima para baixo) possui 12 termos, tem a₁ = 100, a₁₂ = 45 e r = – 5

(      ) A PA citada no item acima é exemplos de PA crescente.

(      ) Utilizando a fórmula da soma dos termos no gráfico de barras podemos afirmar que a soma dos termos é 870.

(      ) Se analisarmos a tabela dos motivos da evasão os valores dos campos: Falta de Acesso, Trabalho e Desinteresse (13, 26, 52) podemos afirmar que é uma PG com q = 2.

(      ) A PG citada no item anterior é um exemplo de PG do tipo alternante.

(      ) Na tabela Matriculas nas modalidades de ensino existe uma PA decrescente.

(      ) Tanto o ano quanto os totais citados na questão acima são exemplos de PA`s decrescentes.

(      ) Em nenhum dos gráficos ou tabelas apresentado existe PA estacionária ou constante

Muitas sequências podem ser escritas por meio de regras ou leis de formação que possibilita conhecer seus termos. 

LEI DE FORMAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA

4 - Dado as leis de formação  escreva suas sequências numéricas.

a) a_n = 4n               

b) a_n = 2n + n                  

c) a_n = – n – 1                     

d) a_n = 4ⁿ 

5 - Analise as leis de formação e suas respectivas sequências numéricas marque a opção ERRADA.

a) a_n = 5n , (5, 10, 15, 20, 25, 30...)
b) a_n = 3n + n , (4, 8, 12, 16, 20...)
c) a_n = –2n –4 , (–6, –8, –10, –12, –14)
d) a_n = 2n , (2, 4, 6, 8, 10...)

TIPOS DE PROGRESSÕES, PA E PG

6 - O estudo das progressões permite classificá-las por tipos de acordo com o valor de sua constante e analise de seus termos. Com base nos seus estudos sobre os tipos de PA`s e os tipos de PG`s analise as progressões abaixo, julgue V ou F e ao final marque a alternativa CORRETA.

(   ) I – PA (2, 5, 8, 11, 14...), r = 4, PA crescente e infinita
(   ) II – PA (–7, –12, – 17), r = 5, PA decrescente e infinita
(   ) III – PA (–1, –1, –1, –1), r = 0, PA estacionária e finita
(   ) IV – PA (14, 10, 6, 2...)r = –4, PA decrescente e infinita
(   ) V – PA (3, 6, 9, 12, 15), r = 3, PA crescente e infinita
(   ) VI – PG (1, 3, 9, 27, 81...), q = 3, PG crescente e infinita
(   ) VII – PG (9, –18, 36, –72), q = –2, PG alternante e finita
(   ) VIII – PG (–40, –20, – 10), q = 0,5 = 1/2 PG decrescente e finita
(   ) IX – PG (2, 2, 2, 2, 2, 2)q = 1, PG estacionária e finita
(   ) X – PG (–4, –12, – 36...), q = 3, PG decrescente e infinita

a) Todas as alternativas são falsas.
b) Duas alternativas são falsas, a V e a XI.
c) Três alternativas são falsas, a II, V e a VIII.
d) Quatro alternativas são falsas, a II, V, VIII e a X.

7 - Qual o valor da razão da PA (4, 9, 14, 19, 24,...) e que tipo é:

a) 4, crescente e infinita.               b) 5, crescente e infinita.
c) 4, decrescente e finita.              d) 5, decrescente e finita.

8- Qual o valor da razão da PA (-2, -2, -2, -2, -2) e que tipo é:

a) 0, estacionária e infinita.           b) 0, estacionária e finita.
c) -2, decrescente e finita.             d) -2, decrescente e infinita.

 9- Qual o valor do quociente da PG (1, 6, 36, 216) e que tipo é:

a) 6, crescente e finita.                  b) 6, decrescente e finita.
c) 3, alternante e finita.                 d) 5, crescente e infinita

10- Qual o valor do quociente da PG (4, –8, 16, –32...) e que tipo é:

a) –2, alternante e infinita.             b) –2, decrescente e finita.
c) –2, alternante e finita.                d) 2, crescente e infinita.

FÓRMULA DO TERMO GERAL, PA E PG

Uma importante fórmula no estudo das progressões é a do Termo Geral que tem como objetivo ajudar a conhecer seus termos de forma rápida e sem a necessidade de construir toda a progressão. 

   PA:  a_n = a₁ + (n - 1)r      

   PG:  a_n = a₁ . q ^n-1

 

Utilizando as fórmulas do termo geral das PA`s e das PG`s responda as questões que se seguem

11 - Dado a PA (4, 10...) calcule a₁₂ e marque a opção correta. 

 

a) a₁₂ = 72                     b) a₁₂ = 70                  

c) a₁₂ = 64                     d) a₁₂ = 58

12 - Dado a PG (2, 8, 16...) calcule a₆  e marque a opção correta.

a) a₆ = 2048                   b) a₆ = 128                  

c) a₆ = 512                    d) a₆ = 322

13 - Dado a  PA (2, 8...) calcule a₂₁  e marque a opção correta.

a) a₂₁ = 48                   b) a₂₁ = 128                  

c) a₂₁ = 122                 d) a₂₁ = 221

14 - Numa PA em que a20 = 60 e r = 3 determine o valor do primeiro termo, a₁?

15 - Numa PA em que a₂₀ = 40 e r = 5 determine o valor do primeiro termo, a₁?

16 - Numa PA em que a₁₇ = 85 e r = 5 determine o valor do primeiro termo, a₁?

17 - Dado a PG (1, 3, 9...)  calcule a₁₀  e marque a opção correta.

a) a₁₀ = 248                   b) a10 = 1028                  

c) a₁₀ = 512                    d) a₁₀ =19683

18 - Numa PG em que a1 = 10 e q = 10 calcule a6 

INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA E GEOMÉTRICA

19 - Interpolar significa colocar entre. Na interpolação aritmética e na interpolação geométrica significa inserir seus meios, ou seja, preencher as progressões dado seus extremos. Para isto ora é necessário conhecer o valor da constante e ora o número de elementos da progressão. Assim, interpole os meios aritmético das PA`s e os meios geométricos das PG`s:


a) Interpole 6 meios aritméticos entre 200 e 320

b) Insira 5 meios aritméticos entre 60 e 90;

c) Interpole 6 meios aritméticos entre 100 e 184

d) quantos múltiplos de 2 existem entre 101 e 1999.

e) quantos múltiplos de 5 existem entre 1001 e 2011

f) Interpole 3 meios geométricos entre 4 e 324;

g) Insira 3 meios geométricos entre 8 e 5000.

20 - A ideia da interpolação também é utilizada para conhecer a quantidade de termos entre um intervalo numérico. Com base nisto, calcule quantos múltiplos de 2 e quantos múltiplos de 5 existe entre 101 e 1999.

a) múltiplos de 2 = 749 e múltiplos de 5 = 179
b) múltiplos de 2 = 849 e múltiplos de 5 = 279
c) múltiplos de 2 = 949 e múltiplos de 5 = 379
d) múltiplos de 2 = 649 e múltiplos de 5 = 479

PROPRIEDADE DAS PA`S - TERMO MÉDIO

21 - Utilizando os seus conhecimentos sobre as propriedades das progressões aritméticas preencha a tabela.

22 - A tabela abaixo apresenta o consumo de giz em 2009 do Colégio Estadual Dona Torinha. O consumo de giz na escola é expresso por meio de uma progressão aritmética, porém a tabela está incompleta. Utilizando os seus conhecimentos sobre as propriedades das progressões aritméticas preencha a tabela abaixo e marque a opção ERRADA.

a) A soma dos termos da PA é 2220

b) O 5º termo da PA é 140

c) A razão da PA é 30

d) Considerando que a soma dos termos equidistantes é uma constante temos que a soma do 1º com o último termo é 370. O 2º termo é 40 logo o penúltimo é 330.

23 -  A tabela abaixo apresenta o consumo de água de uma residência em 2009. Esse consumo é expresso por meio de uma PA, porém a tabela está incompleta. Utilizando os seus conhecimentos sobre as propriedades das progressões aritméticas preencha a tabela abaixo e julgue os itens que se seguem.

(      ) I – Os meses são um exemplo de sequência não numérica

(      ) II – O 5º termo da PA é 2800

(      ) III – A diferença do 7º termo pelo 3º termo é 2200

(      ) IV – O 8º termo da PA é 4600

(      ) V – A razão da PA é 600

(      ) VI – A PA é um exemplo do tipo crescente e finita

(      ) VII – Considerando que a soma dos termos equidistantes é uma constante temos que a soma do 1º com o último termo é 7400. O 2º termo é 1200  logo o penúltimo é 6200.

(      ) VIII – A soma dos termos da PA, ou o consumo total de água em litros, é 44400

(      ) IX – O consumo médio dessa residência e 3700

(      ) X – Caso o consumo dos doze meses tivesse o mesmo valor, 2000, essa PA seria do tipo estacionária

SOMA DOS TERMOS DA PA E DA PG

24 - Calcule a soma dos termos das progressões abaixo:  

a) A soma de 1 até 100

b) A soma de 1 até 1000

c) A soma de 6 até 600

d) Os 11 primeiros termos da PA (3, 6, ...) 

e) A soma dos 20 primeiros termos da PA (2, 6, ...)

f) A soma dos 30 primeiros termos da PA (3, 8, ...)             

g) Os 6 primeiros termos da PG (1, 2, 4,...)

h) Os 10 primeiros termos da PG (3, 9, 27...)

i) Os 7 primeiros termos da PG (4, 12, 36...)

25 - Karl Friedrich Gaus foi um importante matemático alemão, um gênio da matemática, autodidata, que desde cedo demonstrou grande domínio com os números. Quando criança percebeu uma importante propriedade das progressões aritméticas que determinou a fórmula da soma dos termos das PA`s. Tanto a fórmula da soma dos termos das PA`s quanto como a fórmula da soma dos termos das PG`s visam agilizar as contas e facilitar muito trabalho. Calcule a soma dos termos das progressões aritméticas e das progressões geométricas e marque a alternativa ERRADA.

a) A soma de 1 até 1000 é 505000
b) A soma dos 20 primeiros termos da PA (2, 6, ...) é 800
c) A soma dos 7 primeiros termos da PG (2, 4,...) é 254
d) A soma dos 5 primeiros termos da PG (3, 9,...) é 363
e) n. d. a