Matemática para todos.: Arte e matemática

Arte e matemática - O Cubo

Eu adoro viajar, conhecer lugares novos, ir em museus e fico maravilhado com a riqueza e a diversidade cultural que nos cerca. Nas férias deste ano, 2014, tive o prazer de conhecer Curitiba, Paraná, e lá entre as tantas experiências vividas tive o prazer de conhecer o MON - Museu Oscar Niemeyer (O museu do olho) o lugar é lindo e incrível. Fiquei impressionado com o próprio museu, sua arquitetura e tudo aquilo que eu vi lá. O MON "é um espaço dedicado à exposição de Artes Visuais, Arquitetura, Urbanismo e Design. Possui cerca de 35 mil metros quadrados de área construída e mais de 17 mil metros quadrados de área expositiva, considerada a maior da América Latina".

No dia em que eu fui estava tendo diversas exposições, tudo muito surpreendente, mas eu neste post quero ressaltar um artista em especial e uma obra. Olhem só que linda e grandiosa obra de arte que utiliza uma forma geométrica bem conhecida, o cubo. Obra imensa. De José Bechara. Fiquei encantado. Numa generalização posso afirmar que estamos cercados pela geometria, por suas figuras e formas e as suas diversas aplicações. Porém ao apreciar obras de artes sempre me atento com um olhar especial àquelas que apresentam figuras e formas geométricas, me encanta e me identifico. Adoro a geometria e vê-la em diversas obras faz eu gostar ainda mais da geometria e das artes plásticas.

Quer saber mais sobre o autor desta obra e sobre esta forma geométrica

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Tal obra estava presente na exposição “Nos intervalos entre as coisas importantes, nos minutos à toa” de José Bechara. Segundo informações extraídas do site do MON, Bechara traz esculturas em grande escala e pinturas recentes confeccionadas em vidro de modo bastante singular. Com uma nova série de trabalhos de grande formato, construídos em vidros planos, a pintura confunde-se com escultura para, através de transparências, reflexos e refrações, envolver arquitetura e espectador, num jogo permeado por relações e descobertas ocorridas a cada passo, conforme a proximidade com cada trabalho.

Em uma pesquisa rápida no google imagens sobre o autor da peça, outras diversas são apresentadas, Mas quem quiser também pode acessar o site do artista que segue na apresentação das fontes.

O Cubo, agora no que tange a matemática temos que o cubo é, entre todos os poliedros, talvez seja o mais conhecido, dado existirem muitos objetos de uso corrente de forma cúbica, como por exemplo um dado. Além disto temos que o cubo é um poliedro regular pois as suas faces são geometricamente iguais. É um dos sólidos de Platão, hexaedro regular. Também é considerado um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes, as seis faces são quadrados

O cubo tem os seguintes elementos:

6 faces, que são quadrados geometricamente iguais;
12 arestas iguais, que são segmentos de reta;
8 vértices, que são pontos de encontro de três arestas do cubo (as quinas).

Para construir um cubo basta conhecer a medida de uma aresta. Além de faces, arestas e vertices o cubo tem outros elementos como suas diagonais.

Diagonais da base e do cubo

Chama-se diagonal do cubo, D, ao segmento de reta que une dois vértices não pertencentes à mesma face. A diagonal D do cubo é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos a e d:

D² = d² + a².

Considere a figura a seguir:

d_c=diagonal do cubo

d_b = diagonal da base

Mas d é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos iguais a a, sendo a a medida da aresta do cubo, logo,

d² = a² + a², ou seja, d² = 2a². Então, D² = 2a² + a² = 3a²

Na base ABCD, temos:

No triângulo ACE, temos:

A área da superfície do cubo pode calcular-se facilmente atendendo ao fato das suas faces serem 6 quadrados iguais. Sendo a o comprimento da aresta do cubo, a área de cada face será a², e portanto, temos:

Área lateral
A área lateral do cubo é a soma das áreas das faces laterais, sendo dada por:
A_l= 4a², onde: A_l- área lateral

A_L=4a²

Área total
A área total do cubo é a soma da área lateral com a área das duas bases, ou seja:
A_t= A_l+ 2A_b= 4a²+ 2a²= 6a², onde: A_t - área total

A_T=6a²

Volume
O volume do cubo é dado pelo cubo (terceira potência) do comprimento da aresta. De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por:

V= a . a . a = a³

Assim, sendo a o comprimento da aresta do cubo, o seu volume é V=a³.