Plano de Argand-Gaus

Plano de Argand-Gaus, que trem é este?

Números Complexos: uma importante descoberta matemática

Quando alguma equação exige uma raiz quadrada de um número negativo, a solução não é possível dentro do conjunto dos números reais, R. Estima-se que por volta do século XV, considerava que "um número negativo não é quadrado de nenhum número, pois não existe raiz quadrada de um número negativo”. Para solucionar tal questão os matemáticos idealizaram um número, o número imaginário (i) e a partir deste surgiram novos números constituindo um novo conjunto numérico, o conjunto dos números complexos, C.

E é na representação de um número complexo que o plano de Argand-Gauss se apresenta, temos que

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Raízes quadradas de números negativos continuavam aparecendo, e o que mais preocupava os matemáticos da época era que essas raízes, sendo desenvolvidas de acordo com as regras algébricas, forneciam resultados satisfatórios, que não podiam ser obtidos de outra forma. 

Foi através de estudos relacionados aos matemáticos Wessel, Argand e Gauss, que muitos resolveram associar os números a e b de um complexo a coordenadas de um ponto no plano, criando assim uma representação geométrica para um complexo.

A criação dos números complexos revolucionou, de certa forma, a Matemática, pois se criava mecanismos para obtenção de resultados envolvendo a raiz quadrada de um número negativo, até então um mistério. Os complexos são formados por uma parte real (x) e outra imaginária (y), assumindo a seguinte forma algébrica: z = x + yi. O número complexo pode ser representado no plano através de um ponto Q de coordenadas (x, y), sobre o eixo x marcamos a parte real e sobre o eixo y a parte imaginária de z. O ponto Q deve receber o nome de afixo ou imagem geométrica de z. 

A cada número complexo z = a + bi, podemos associar um ponto P no plano cartesiano. No complexo podemos representar a parte real por um ponto no eixo real, e a parte imaginária por um ponto no eixo vertical, denominado eixo imaginário. 

A este ponto P, correspondente ao complexo z = a +bi, chamamos de imagem ou afixo de z. Observe a representação da interpretação geométrica dos números complexos: 

Atualmente, o plano dos números complexos é conhecido como plano de Argand-Gauss.

Com base no plano representado vamos calcular a distância p (letra grega: rô), entre os pontos O e P. Observe que basta aplicarmos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, dessa forma temos:

O módulo de z é representado pela grandeza p, mas também pode ser representado por |z|. 

A ângulo Ө (0 ≤ Ө < 2π), formado pelo eixo real e a reta do segmento OP, é chamado de argumento de z (z ≠ 0) e é indicado por Arg(z). Baseado nessas definições podemos estabelecer as seguintes relações na interpretação geométrica dos complexos:

Fonte: 

Mundo Educação por Marcos Nóe

Brasil Escola Por Marcos Noé

Imagens extraídas de diversas fontes

E adaptação por Gleidston Gomes