Fatorial

O fatorial (!) de um número n, representado por n!, é a multiplicação de n por seus antecessores maiores ou iguais a 1. Essa operação é muito comum em análise combinatória. Na matemática o número seguido do símbolo de exclamação (!) é conhecido como fatorial, por exemplo, 5! (cinco fatorial).

Calcular o fatorial de um número só faz sentido quando estamos trabalhando com números naturais. Calculamos o fatorial somente de números naturais, ou seja, não existe o fatorial de um número decimal, de um número negativo ou de frações

Essa operação é bastante comum na análise combinatória, facilitando o cálculo de arranjos, permutações, combinações e demais problemas envolvendo contagem.

O fatorial é representado pelo símbolo “!”. Definimos como n! (n fatorial) a multiplicação de n por todos os seus antecessores até chegar em 1

Por exemplo, o fatorial do número 5 é 5!, que é a multiplicação de 5 pelos seus antecessores, ou seja, 5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120

Mas, para que serve o fatorial de um número?

Normalmente, o fatorial de um número natural é utilizado em matemática para o cálculo de combinações. Vamos supor que cinco pessoas pretendem formar uma fila, de quantas formas diferentes se pode formar a referida fila? Ora bem, na primeira posição podemos escolher qualquer uma das cinco pessoas, na segunda posição da fila já só temos quatro escolhas possíveis, na terceira posição podemos escolher entre três pessoas e assim por diante. Então tendo em conta o resultado apresentado anteriormente, uma fila de 5 pessoas pode ser organizada de 120 maneiras diferentes.

Qual é o valor do fatorial de zero?

Já foi referido anteriormente que só faz sentido calcular o fatorial de um número natural. Tendo em conta que o zero não faz parte do conjunto dos números naturais, não deveria ser necessário responder a esta pergunta. (O ZERO FAZ PARTE DOS NUMEROS NATURAIS) No entanto, os  matemáticos sentiram necessidade, em alguns cálculos mais complexos, de conhecer o valor do fatorial de zero e chegaram à conclusão que o seu valor é UM. Este resultado pode parecer um pouco estranho. Mas, vamos retomar o exemplo de que falamos acima. Já vimos que para organizar uma fila com 5 pessoas, isso pode ser feito de 120 maneiras diferentes. E se a fila for composta só por uma pessoa? Nesse caso ficará , e portanto só pode ser feita de uma forma. E se a fila de pessoas não tiver ninguém? Então neste caso, à semelhança do exemplo anterior, a fila só pode ser organizada de uma única forma, ou seja, a fila vazia e assim .

Veja abaixo o fatorial de alguns números inteiros:

Operações com fatorial

Para resolver operações com fatorial, é importante tomar cuidado para não cometer alguns erros. Quando vamos somar, subtrair ou multiplicar dois fatoriais, é necessário calcular cada um deles separadamente. Somente a divisão possui formas específicas para a realização de simplificações. Não cometa o erro de realizar a operação e conservar o fatorial, seja para adição e subtração, seja para multiplicação.

 

2! + 3! ≠ 5!

4! • 3! ≠ 12!

7! – 5! ≠ 2!

 

Na hora de resolver qualquer uma dessas operações, devemos calcular cada um dos fatoriais.

Exemplos:

a) 2! + 3! = (2 • 1) + (3 • 2 • 1) = 2 + 6 = 8

b) 4! • 2! = (4 • 3 • 2 • 1) • (2 • 1) = 24 • 2 = 48.

c) 7! - 5! =(7 • 6• 5• 4 • 3 • 2 • 1) - (5• 4 • 3 • 2 • 1) = 5040 – 120 = 4920."

Importante: Não podemos somar ou subtrair os números antes de calcular o fatorial, pois caso isso seja feito, encontraremos resultados diferentes, pois 3! + 4!  não é igual a 7!, assim como 4! ⋅ 3! não é igual a 12!.

 

Brasil Escola, "Fatorial" , disponível em:< https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatorial.htm>

Mundo Educação < https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/fatorial.htm>

Matematica.pt < https://www.matematica.pt/faq/fatorial-numero-natural.php>