Fatorial

O fatorial (!) de um número n, representado por n!, é a multiplicação de n por seus antecessores maiores ou iguais a 1. Essa operação é muito comum em análise combinatória. Na matemática o número seguido do símbolo de exclamação (!) é conhecido como fatorial, por exemplo, 5! (cinco fatorial).

Calcular o fatorial de um número só faz sentido quando estamos trabalhando com números naturais. Calculamos o fatorial somente de números naturais, ou seja, não existe o fatorial de um número decimal, de um número negativo ou de frações

Essa operação é bastante comum na análise combinatória, facilitando o cálculo de arranjos, permutações, combinações e demais problemas envolvendo contagem.

O fatorial é representado pelo símbolo “!”. Definimos como n! (n fatorial) a multiplicação de n por todos os seus antecessores até chegar em 1

Por exemplo, o fatorial do número 5 é 5!, que é a multiplicação de 5 pelos seus antecessores, ou seja, 5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120

Mas, para que serve o fatorial de um número?

Normalmente, o fatorial de um número natural é utilizado em matemática para o cálculo de combinações. Vamos supor que cinco pessoas pretendem formar uma fila, de quantas formas diferentes se pode formar a referida fila? Ora bem, na primeira posição podemos escolher qualquer uma das cinco pessoas, na segunda posição da fila já só temos quatro escolhas possíveis, na terceira posição podemos escolher entre três pessoas e assim por diante. Então tendo em conta o resultado apresentado anteriormente, uma fila de 5 pessoas pode ser organizada de 120 maneiras diferentes.

Qual é o valor do fatorial de zero?

Já foi referido anteriormente que só faz sentido calcular o fatorial de um número natural. Tendo em conta que o zero não faz parte do conjunto dos números naturais, não deveria ser necessário responder a esta pergunta. (O ZERO FAZ PARTE DOS NUMEROS NATURAIS) No entanto, os  matemáticos sentiram necessidade, em alguns cálculos mais complexos, de conhecer o valor do fatorial de zero e chegaram à conclusão que o seu valor é UM. Este resultado pode parecer um pouco estranho. Mas, vamos retomar o exemplo de que falamos acima. Já vimos que para organizar uma fila com 5 pessoas, isso pode ser feito de 120 maneiras diferentes. E se a fila for composta só por uma pessoa? Nesse caso ficará , e portanto só pode ser feita de uma forma. E se a fila de pessoas não tiver ninguém? Então neste caso, à semelhança do exemplo anterior, a fila só pode ser organizada de uma única forma, ou seja, a fila vazia e assim .

Veja abaixo o fatorial de alguns números inteiros:

O grande feito de TALES DE MILETO

 

Tales de Mileto, a Pirâmide e o Teorema

 "A intersecção de um feixe de retas paralelas por duas retas transversais forma segmentos proporcionais."

MATEMÁTICO: Tales de Mileto

 

Tales de Mileto

Tales de Mileto foi um importante pensador, um filósofo, um comerciante, matemático grego pré-socrático e astrônomo antigo. É considerado, por alguns, o "Pai da Ciência" e "Pai Filosofia Ocidental". foi considerado o primeiro filósofo por Aristóteles

Quer saber mais sobre Tales de Mileto? Clique abaixo

Tabelas e Gráficos

 

Tabelas e gráficos. 

O que são? Para que servem?

Entenda rapidamente os conceitos de tabelas e gráficos.

Binômio de Newton: Que trem é este?!

Binômio de Newto:  Que trem é este?!

Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como binômio de Newton (Ele mesmo, o famoso e extraordinário: Sir Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 - 1727). Esse estudo veio para complementar o estudo de produto notável. O binômio de Newton veio pra facilitar esses cálculos, pois com ele calculamos a enésima potência de um binômio.

Denomina-se Binômio de Newton , a todo binômio da forma (a + b)ⁿ , sendo n o expoente da expressão um número natural. Lembre: o que é mesmo um binômio?  Binômios são as expressões algébricas formada por dois termos

O estudo e desenvolvimento do Binômio de Newton envolve:

- Coeficientes Binomiais e suas propriedades
- Triângulo de Pascal
- E uma  Fórmula muito legal do desenvolvimento do binômio de Newton .


Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton :
a) (a + b)² = a² + 2ab + b²
b) (a + b)³ = a³ + 3 a²b + 3ab² + b³
c) (a + b)⁴ = a⁴ + 4 a³b + 6 a²b² + 4ab³ + b⁴
d) (a + b)⁵ = a⁵ + 5 a⁴b + 10 a³b² + 10 a²b³ + 5ab⁴ + b⁵ 


Agora você quer conhecer a formula do desenvolvimento do binômio de Newton?
clique ai embaixo e continue lendo

Equação do 2° Grau e suas aplicações

Equações de 2º grau no nosso cotidiano

 

De volta e meia eu me deparo com uma postagem com a imagem acima no facebook. Praticamente um alerta, um grito sobre o não conhecimento de aplicações da equação do 2° grau e tudo aquilo que está ligado a ela. De fato isto revela uma falha (talvez) sobre o ensino mecânico da matemática e o trabalhar uma técnica desconectado com a realidade ou com situações cotidianas.

Ok. Existem falhas no ensino de matemática, eu como professor assumo em parte essa falha na minha prática docente. Porém preciso destacar que em alguns anos do ensino precisamos treinar bem uma técnica ou um método de cálculo antes, para ficar afiado para as suas aplicações. 

Enfim, para tentar amenizar essa realidade (Passar mais um dia e não usar delta e Bhaskara para nada) e passar a ver as importância e as aplicações da equação do 2° grau foi pesquisado as algumas aplicações desse conhecimento matemático. 

QUER SABER MAIS SOBRE AS APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DO 2°GRAU

>>>>> Clique e continue lendo 

Plano de Argand-Gaus

Plano de Argand-Gaus, que trem é este?

Números Complexos: uma importante descoberta matemática

Quando alguma equação exige uma raiz quadrada de um número negativo, a solução não é possível dentro do conjunto dos números reais, R. Estima-se que por volta do século XV, considerava que "um número negativo não é quadrado de nenhum número, pois não existe raiz quadrada de um número negativo”. Para solucionar tal questão os matemáticos idealizaram um número, o número imaginário (i) e a partir deste surgiram novos números constituindo um novo conjunto numérico, o conjunto dos números complexos, C.

E é na representação de um número complexo que o plano de Argand-Gauss se apresenta, temos que

Quer saber mais sobre o plano de Argand-Gaus e o que estudamos no conjunto dos "Números Complexos"

>>>Clique e Continue lendo

Conjunto dos números complexos

Números Complexos

A construção dos números complexos passou por diversos obstáculos, que levaram em média 300 anos para serem vencidos, desenvolvendo, assim, teorias referentes a esse conjunto numérico.

Aprenda como utilizar o i².

 
Historicamente, os números complexos começaram a ser estudados graças à grande contribuição do matemático Girolamo Cardano (1501-1576). Esse matemático mostrou que mesmo tendo um termo negativo em uma raiz quadrada era possível obter uma solução para a equação do segundo grau: 

x² – 10x +40 = 0. 

Essa contribuição foi de grande importância, pois até então os matemáticos não acreditavam ser possível extrair a raiz quadrada de um número negativo. A partir dos estudos de Girolamo Cardano, outros matemáticos estudaram sobre esse impasse na matemática, obtendo uma formalização rigorosa com Friedrich Gauss (1777-1855).

 

O conjunto dos números complexos é o conjunto que engloba todos os outros conjuntos. É necessário compreender os processos das operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) envolvendo elementos desse conjunto, assim como a representação geométrica dos números complexos. Portanto, nessa seção serão abordados assuntos como: concepções básicas do número complexo, operações aritméticas com números complexos, operações trigonométricas com os números complexos, o Plano de Argand-Gauss, entre outros artigos que se relacionam com os números complexos – números de grande importância e aplicabilidade.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Fonte: Brasil Escola

Quer saber mais sobre o que estudamos no conjunto dos "Números Complexos"

>>>Clique e Continue lendo

Introdução à Matemática Financeira.

3o Ano: Quer pagar quando?? Quer pagar quanto?? 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Seja um cidadão consciente: Matemática financeira um passo para uma Educação financeira.

De uma forma simplificada, podemos dizer que a Matemática Financeira, é o ramo da Matemática Aplicada que estuda o comportamento do dinheiro no tempo. Assim, busca quantificar as transações que ocorrem no universo financeiro levando em conta a variável tempo, ou seja o valor monetário no tempo.
 
Logo, podemos considerar e afirmar que a Matemática Financeira possui diversas aplicações no atual sistema econômico. Algumas situações estão presentes no cotidiano das pessoas, como:

• financiamentos de casa e carros, realizações de empréstimos;
•  compras a crediário ou com cartão de crédito;
• aplicações financeiras, investimentos em bolsas de valores, entre outras situações. 

Todas as movimentações financeiras são baseadas na estipulação prévia de taxas de juros. Ao realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é feita através de prestações mensais acrescidas de juros, isto é, o valor de quitação do empréstimo é superior ao valor inicial do empréstimo. A essa diferença damos o nome de juros.

Mas, afinal, o que é Juros?

Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital. Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Os juros simples eram utilizados nas situações de curto prazo, hoje não utilizamos a capitalização baseada no regime simples.

Pretendemos entender um pouco mais como funcionava a capitalização no sistema de juros simples e no sistema de juros composto, é só ficar atento as aulas e resolver as listas de exercícios.

2o Ano: Afinal, o que é análise combinatória?! : )

ANÁLISE COMBINATÓRIA
 

Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).

A Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, responsável pela análise das possibilidades e das combinações, assim, visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições. Temos que a analise combinatória trata de problemas e métodos que envolve contagem, agrupamentos e organização.
 
Observe alguns exemplos de problemas que são resolvidos utilizando análise combinatória:

• Se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória.

• Saber, por exemplo, quantas placas de carro são possíveis de existir no sistema atual de placas brasileiro (3 letras e 4 algarismos).

• Sabendo que um homem possui cinco camisas, quatro calças, três paletós e dois pares de sapatos. Conhecer de quantos modos diferentes ele pode se vestir? Para saber essas combinações é necessário utilizar as propriedades da análise combinatória.

Para efetuar os cálculos desses problemas, devemos estudar algumas propriedades da análise combinatória:

- Princípio fundamental da contagem
- Fatorial
- Arranjos simples
- Permutação simples
- Combinação
- Permutação com elementos repetidos

Analise combinatória é uma matéria bastante cobrada em vestibulares e concursos públicos, pois envolve um pensamento mais abstrato, pois na maioria das vezes não enxergamos todas as possibilidades.

Quer saber mais? Clique nos links e bons estudos.
Fonte: Brasil Escola e Algo Sobre

A matemática nas férias: O futebol.

É fato! Não temos como negar. A matemática esta em toda parte, das mais simples atividades cotidianas até as mais complexas, ligadas as profissões onde a exatidão e a precisão se fazem presentes. Podemos observar ao nosso redor. Estamos cercado por números, formas, figuras, distâncias, tamanhos, quantidades e a matemática se faz presente ai mesmo sem perceber.

Em mais uma postagem de matemática nas férias venho expor um trecho de um vídeo da "Matemática em toda parte" que aborda a matemática presente no futebol, seja na construção do campo, no desenho que jogar se faz ou na probabilidade, analise combinatória e na estatística aplicada ao esporte.

Muitas vezes nem percebemos quanta Matemática existe nos jogos de futebol. Como exemplo: a matemática está presente na elaboração das tabelas de jogos, na geometria do campo e nas diversas estatísticas, que permitem avaliar o desempenho de cada time, média de gols, número de passes errados ou certos etc. E mais, sem perceber, os jogadores fazem cálculos mentais para estimar a distância em que está o companheiro e a força que precisa ter o chute para a bola alcançá-lo.

Os técnicos, por sua vez, tem na combinatória as inúmeras alternativas de escalar o time e organizá-lo, pode com a matemática  definir táticas em que estabelecem áreas no gramado para cada membro do time atacar ou defender. Enfim, há inúmeras situações em que a matemática se faz presente neste e em muitos outros esportes e na vida cotidiana. É só pensar um pouco.

Quer saber um pouco mais sobre a Matemática no futebol assista os vídeos abaixo:

Fonte: Revista Nova Escola e Matemática em toda parte (Tv Escola)

06 de MAIO - Dia Nacional da Matemática

O Dia Nacional da Matemática

Do dia 06 de maio a 10 de maio

 

Gincana da Matemática: jogos, desafios, enigmas, brincadeiras e diversão

CALCULANDO 2013 - COLÉGIO ESTADUAL DONA TORINHA

 
o DIA DA MATEMÁTICA comemorado em 6 de maio, de acordo com Lei aprovada pelo congresso Nacional em 2004, de autoria da Deputada Professora Raquel Teixeira. A escolha desse dia tem como motivação a data de nascimento do professor Julio César de Mello e Souza, mais conhecido como
Malba Tahan.

Malba Tahan era o pseudônimo do escritor e professor de matemática Julio César de Mello e Souza, nascido no Rio de Janeiro no dia 6 de maio. Ele é o autor de um dos maiores sucessos literários de nosso país, o romance O Homem que Calculava, já traduzido em doze idiomas, que relata as enigmáticas histórias de um calculista repleto de estratégias matemáticas na resolução de problemas cotidianos.

Nesse dia, os matemáticos ligados à área da educação devem promover dinâmicas, com o objetivo de divulgação da data comemorativa, bem como demonstrar que a Matemática é definitivamente importante na evolução da sociedade, visto que seu próprio crescimento ocorreu de acordo com o processo de modernização regido pelas ações humanas ao longo do tempo. Alem disto, a data tem o propósito de mostrar às pessoas que a Matemática não é tão complicada como muitos pensam. Como exemplo, suas aplicações facilitam o entendimento em processos de contagem relacionados a cálculos diários e cotidianos.

A história da RODA

Em uma noite de céu estrelado e lua cheia um professor de matemática foi trabalhar. Reuniu seu material de trabalho, seus planejamentos e listas de exercícios. Antes, pesquisou e estudou e na aula apresentou alguns materiais concretos para com a turma estudar o círculo, a circunferência, seus elementos e propriedades.
Todo empolgado ele entrou na sala e começou a expor a matéria e explicar a atividade: a relação entre a circunferência e o diâmetro. Quando bruscamente uma aluna o interrompeu e o indagou: 

Aluna: "Mas professor, que besteira. Para que estudar isto? Cincunferência, círculo?? Isto não serve de nada"

Professor: ""Como assim? Você consegue visualizar um mundo sem esta incrível forma geometrica? Olha a roda, por exemplo, que é utilizada nos transportes dos mais variados meios de locomoção. Perceba o quanto as sociedades evoluiram e como facilitou a vida em diversas situações. Procure imaginar como o mundo era antes e depois da roda. E hoje, além das rodas e suas variações, temos as engrenagens e as polias como outra aplicação e um grande avanço na sociedade. É só pensar um pouco e refletir todo conhecimento tem uma história, um porque e um para que. é só abrir a mente e ser curioso as novas decorbertas"

De fato o círculo é uma forma incrível. Fascinados e maravilhados pelo mundo que nos cerca muitos matemáticos se dedicaram ao estudo dessa forma. Arquimerdes é um grande exemplo. Mas, retomando a história da roda a apresento para vocês.


Segundo algumas hipóteses, a roda foi inventada na Ásia, há 6000 anos, na Mesopotânia talvez.

Foi uma invenção de importância extraordinária, não só porque promoveu uma revolução no campo dos transportes e da comunicação, mas também porque a roda, com diferentes modificações, passou a fazer parte de numerosos mecanismos e contribuiu para um incrível impulso ao progresso humano


Quer saber um pouco mais sobre a história da roda?
>>>>CLIQUE E CONTINUE LENDO

Projeto 3o Ano / Matutino : ESTATÍSTICA na prática.

Estatística, é uma ciência. Integrante dos cursos de exatas tem a matemática como peça ou instrumento fundamental. Tem entre alguns objetivos estão a coleta, analisa e interpreta dados numéricos para o estudo de fenômenos naturais, econômicos e sociais.

O estatístico planeja e coordena o levantamento de informações por meio de questionários, entrevistas e medições. Organiza, analisa e interpreta os resultados para explicar fenômenos sociais, econômicos ou naturais.

Ao estatístico, entre diversas funções, cabe montar banco de dados para os mais diversos usos. Na indústria, acompanha os testes de qualidade, ajuda a fazer previsão de vendas e desenvolve modelos matemáticos para ajustá-los a situações práticas.

Para as turmas do terceiros anos matutino o primeiro passo foi dado para o nosso projeto: A estatística na prática. Os temas já foram definido.

Aguardem as próximas etapas. Muito temos a aprender sobre a estatísticas e suas aplicações.

S2 "O Quociente e a Incógnita" S2

O QUOCIENTE E A INCÓGNITA - Millôr Fernandes "Às folhas tantas do livro de matemática, um quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma incógnita. Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a, do ápice à base. Uma figura ímpar olhos rombóides, boca trapezóide, corpo ortogonal, seios esferóides. Fez da sua uma vida paralela a dela até que se encontraram no infinito. "Quem és tu?" - indagou ele com ânsia radical. "Eu sou a soma dos quadrados dos catetos, mas pode me chamar de hipotenusa". E de falarem descobriram que eram o que, em aritmética, corresponde a almas irmãs, primos entre-si. E assim se amaram ao quadrado da velocidade da luz numa sexta potenciação traçando ao sabor do momento e da paixão retas, curvas, círculos e linhas senoidais. Nos jardins da quarta dimensão, escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidianas e os exegetas do universo finito. Romperam convenções Newtonianas e Pitagóricas e, enfim, resolveram se casar, constituir um lar mais que um lar, uma perpendicular. Convidaram os padrinhos: o poliedro e a bissetriz, e fizeram os planos, equações e diagramas para o futuro, sonhando com uma felicicdade integral e diferencial. E se casaram e tiveram uma secante e três cones muito engraçadinhos e foram felizes até aquele dia em que tudo, afinal, vira monotonia. Foi então que surgiu o máximo divisor comum, frequentador de círculos concêntricos viciosos, ofereceu-lhe, a ela, uma grandeza absoluta e reduziu-a a um denominador comum. Ele, quociente percebeu que com ela não formava mais um todo, uma unidade. Era o triângulo tanto chamado amoroso desse problema, ele era a fração mais ordinária. Mas foi então que Einstein descobriu a relatividade e tudo que era espúrio passou a ser moralidade, como, aliás, em qualquer Sociedade ..." Millôr Fernandes Poema extraído de Só Matemática

Irracional eu?!? Sim, irracional sim.

Raiz de 5 é um número irracional. Mas afinal, o que é mesmo um número irracional e quem são eles?

Em meio à infinidade de nosso sistema numérico (números naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais, complexos...), temos diversos números com suas peculiaridades e propriedades: entre eles, os números irracionais. O surgimento do conjunto dos números irracionais é proveniente de uma discussão acerca do cálculo da diagonal de um quadrado de lado 1.

QUER SABER MAIS, CONTINUE LENDO >>>

Número PRIMO, ser ou não ser, eis a questão.

A revista cálculo trouxe uma matéria de capa que deixou uma pulga atrás da orelha em muita gente. EXTRA! EXTRA! O número 1 É PRIMO. 
Será? O número 1 realmente é Primo? Quem são os números primos? O número 1 se enquadra na definiçao de número primo. A matéria da revista Cálculo apresenta um alerta, o problema esta naas definições mal escritas que muitos livros didáticos trazem. Porém, não matou a questão se o número 1 é ou nao PRIMO.

Quer saber mais sobre os números primos e tirar sua conclusão se o número 1 é ou não primo

>>>CLIQUE E CONTINUE LENDO.

Especial: Mulheres na matemática - Hipatia

08 de março, Dia Internacional da Mulher

ESPECIAL, MATEMÁTICA DO MÊS DE MARÇO: 
Hipatia, de Alexandria

A primeira mulher na matemática que rompeu a barreira do preconceito e entrou para a História foi Hipatia de Alexandria. Nascida no ano 370 d.C. Ousada, inteligente e culta, Hipatia foi professora e diretora da Academia de Alexandria,em que realizou trabalhos na matemática e teve importância nas áreas das invenções. Porém, teve um triste fim. Quer saber mais? Leia a matéria na íntegra.



>>> CONTINUE LENDO, VALE A PENA CONFERIR!!!

Texto: Vamos atingir e superar a meta.

É possível, vamos atingir e superar a meta.
Porém, o primeiro passo é mudar a postura e o pensamento...

... ou seja, procure encontrar maneiras e retire as desculpas da sua rotina de estudo e na vida.

Segundo estudo exposto no canal de comunicação G1/Educação

Apenas 10% dos alunos aprendem o ideal em matemática no ensino médio

Nenhum estado cumpriu a meta de 2011; pior desempenho foi do DF.

>>>>continue lendo

Texto: Matemática, uma ciência sinistra?

Matemática, uma ciência sinistra? 

Autor: Jacir Venturi

A matemática é uma ciência sisuda, sinistra, sombria, abstrata e tem cara de poucos amigos? Pensam assim muitos que por ela foram humilhados. No entanto, sendo a matemática a rainha e serva de todas as ciências, uma das jóias da coroa de Sua Majestade é lúdica, bem-humorada, hilária e se apresenta na forma de quebra-cabeças, passatempos, sudokus, diversos games, causos e brincadeiras. Eles divertem e são bálsamos para as horas de tédio ou quando falta companhia. Ademais, ensejam a têmpera racional da mente. Merecidamente, o mercado de trabalho valoriza o profissional com senso de humor, leitor e dotado de raciocínio lógico.

>>>> continue lendo